回来讲道题

我们看题目:

已知函数 \(f(x)=xe^{ax}-e^x\),当 \(x>0\) 时,\(f(x)<-1\),求 \(a\) 的取值范围。

这道题很有意思。

首先,我们上来考虑进行分离变量

\(a<\frac{ln{\frac{e^x-1}{x}}}{x},x>0\)

嘶。不太现实。

所以,我们考虑直接证明

\(F(x)=xe^{ax}-e^x+1,x>0\)

\(F(x)<0\)

易得 \(F(0)=0\)

到了这一步,局势有些明朗了。观察以上条件,猜想通过导数分析恒小于零。

求导:\(F'(x)=e^{ax}+axe^{ax}-e^x\)

导数的正负性依然不好求,但是我们可以一眼盯出:

\(F'(0)=0\)

如果导数恒小于零,那么原命题成立,所以这里考虑求二阶导,讨论导数的单调性:

\(F''(x)=2ae^{ax}+a^2xe^{ax}-e^x\)

乍一看,似乎更复杂了,不过其实答案已经近在眼前:

\(F''(0)=2a-1\)

这里,假如 \(F''(0)>0\)

那么 \(F'(x)\) 必然存在一个从 \(0\) 开始的单调增区间,

使得该区间中 \(F'(x)>0\)

那么 \(F(x)\) 就也会有一个单调增区间,

使得该区间中 \(F(x)>0\)

于是原命题就不成立

而如果,\(F''(0)\leq0\)

以上均不会发生

所以,就有 \(2a-1\leq0,a\leq\frac{1}{2}\)

但是!这里就结束了吗?不!还要继续进行讨论。

因为我们只讨论了二阶导的自变量取 \(0\) 时的情况,却没有讨论自变量为正的情况。

通过上面的讨论,我们确实是确保了原函数不会一上来就大于零,但是却没有确保后面会不会。

保不齐后面二阶导突然抽风噌噌噌往上窜,带着一阶导大于零,然后把原函数也拉的大于零

所以,为了逻辑完整,我们需要验证:在 \(a\leq\frac{1}{2}\) 的情况下,原命题成立。

易得 \(e^{ax}\leq e^{\frac{x}{2}}\)

从而得到 \(F(x)\leq xe^{\frac{x}{2}}-e^x+1\)

故只需证:

\(xe^{\frac{x}{2}}-e^x+1<0\)

\(G(x)=xe^{\frac{x}{2}}-e^x+1\)

求导可得:\(G'(x)=e^{\frac{x}{2}}(1+\frac{x}{2}-e^{\frac{x}{2}})\)

然后呢,有个东西叫经典不等式:\(x+1\leq e^x\)

\(1+\frac{x}{2}-e^{\frac{x}{2}}<0\)

\(G'(x)<0\)

函数 \(G(x)\)\((0,+∞)\) 上单调递减。

又因为 \(G(0)=0\)

\(G(x)<0\)

得证。

故,\(a\in(-∞,\frac{1}{2}]\)

确实是一道考验注意力的题呢(笑)